SISTEMA DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

SISTEMA DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Ejemplo

X – 2y < 4

2x – y ≥ 3

Transformamos la desigualdad x – 2y < 4 en una igualdad:

X – 2y = 4

Despejamos la y

y = x – 4/2

Damos valores a x para obtener valores de y

 

Hacemos lo mismo con la otra desigualdad

2x – y ≥ 3           2x – 3 ≤ y

 

Representamos gráficamente el sistema de inecuaciones

 

 

Tomamos un punto (5,0) y lo sustituimos en x – 2y < 4

                                                                                5 – 2.0 < 4

           No es cierto, por lo tanto la solución no es este semiplano

Elegimos otro punto (0,0)

X – 2y < 4       0 – 2.0 <4       0<4

En este caso vemos que la solución es este semiplano

SOLUCIÓN->  la zona naranja

Hacemos lo mismo con la otra desigualdad

2x – y ≥ 3   Para (0,0)

2.0 – 0 ≥ 3 No es cierto

Para (3,0)          2.3 – 0 ≥ 3       6≥3  cierto  

SOLUCIÓN-> la zona marcada en azul

SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE INECUACIONES LO NARANJA Y LO AZUL

Se pueden dar tres casos:

 

 

 

 

INECUACIONES...+

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una inecuación que se puede transformar en otra equivalente de una de las siguientes formas

 

EJEMPLO

2x + y – 4 ≤ 0

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

2x + y – 4 = 0

Despejamos la incógnita y

y = 4 – 2x

Ahora damos a una de las dos variables valores, con los que obtenemos varios puntos

 

Lo representamos gráficamente:

 

 

La recta sería discontinua, en el caso de que aparecieran los signos > ó <

 

Tomamos un punto, por encima o por debajo de la recta, por ejemplo (5,0), lo sustituimos en la desigualdad   2x + y – 4 ≤ 0

2 . 5 + 0 – 4 ≤ 0

10 – 4 ≤ 0

6 ≤ 0

No es cierto, por tanto la solución no es este semiplano.

Elegimos otro punto (0,0) y lo sustituimos en la desigualdad                           2x + y – 4 ≤ 0

2 . 0 + 0 – 4 ≤ 0

- 4 ≤ 0

 

 

Es cierto, por tanto la solución es el semiplano donde se encuentra este punto (0,0)

 

 

MÁS EJERCICIOS

1.-Calcula √(3-5 √2)

Al ser 3-5√2 un número negativo no tiene solución (¿DÓNDE? en números reales)

2.-Calcula

 

 

 

3.-Calcula

 

 

 

 

5.- Demuestra que √11+4√7 - √7 = 2

(√11+4√7)²  = (2 +√7) ²

11+4 √7 = 4 + 2.2 √7 + (√7) ²

11+4 √7 = 4 + 4√7 + 7

11+4 √7 = 11+4 √7

6.- Definición de número algebraico

Cualquier número que es solución de un polinomio no nulo con coeficientes racionales

 

 

7.- Demuestra que todo número radical es un número algebraico

 

 

8.- Demuestra que todo número radical es un número algebraico.

 

 

9.- Pon dos ejemplos de números algebraicos que no sean números radicales.

 

10.- Pon tres ejemplos de números trascendentes

ῼ  π  е

11.- Definición de polinomio.

Son las expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes, vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma.

12.- El polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes ceros:                             P(x) = 0x2 + 0x + 0

13.- Opera (x-a)(x-b)(x-c). ¿Qué es el resultado? Observa sus coeficientes.

 

·       Polinomio de grado 3, raíces-> a, b, c

·       Los coeficientes de grado 2-> suma de las raíces cambiando signos

·       Coeficientes de grado 1-> parejas de raíces, productos

 

 

17.- Encuentra un polinomio de grado 4 que no tenga raíces.

 

18.- Enuncia el teorema del factor y aplícalo, para factorizar el polinomio

 

, sabiendo que √2 es una raíz de multiplicidad 5.

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).

Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.

 

 

 

20.- Sin hacer la división entera, halla el resto de la división entera de 3x⁵⁰⁰ + 7 y x + 1.

 

 

 

 

 

 

 

EJERCICIOS DEL EXAMEN

Hoy te quiero contar…

El pasado jueves 26 hicimos nuestro primer examen de matemáticas del curso. Era grupal y a mi personalmente me gustó mucho la experiencia, era la primera vez que hacía algo así y me pareció muy buena idea. Me gustó mucho el grupo que me tocó ya que trabajamos muy bien en equipo y nos ayudamos las unas a las otras con lo que no sabíamos.

En este examen había distintos tipos de problemas, yo os voy explicar unos que me han parecido curiosos

4.- Racionaliza 2/3³√2x²

 

 

 

 

 

23.- Factoriza x³ – y³

 

27.- Calcula

30.- Descompón la fracción algebraica 1/ x² + x + 1 en fracciones algebraicas simples

No se puede descomponer, ya que el denominador es irreducible
 

INECUACIONES (¡Y MÁS...!)

 

Hoy te quiero contar…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Hoy te quiero contar…

Lo que hicimos en la clase del día 18:

 

 

 

 

 

 

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Hoy también te quiero contar…

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en las que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

Un logaritmo es un exponente

 

Llamamos logarítmico en base a de m, al exponente al que hay que elevar a a para obtener m

 

Para resolver ecuaciones logarítmicas tendremos en cuenta las propiedades de los logaritmos

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:

 

 

HAY DOS TIPOS DE LOGARITMO

1º Logaritmos de base 10 o decimales

 

 

2ºLogaritmos neperiales o naturales:

 

CAMBIO DE BASE

 

 

 

ECUACIONES EXPONENCIALES

Hoy te quiero contar además…

ECUACIONES EXPONENCIALES

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente

·       Reducibles a una igualdad de potencias de la misma base:

·       Resolubles por cambio de variable:

Para resolverlo, tendremos que conseguir que todas las exponenciales que aparezcan sean la misma. Dicha exponencial nos da el cambio de variable que hay que hacer

 

 

 

MÉTODO DE GAUSS

Hoy te quiero contar…

MÉTODO DE GAUSS

Consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente, de manera que al tratarse de un método de reducción, en cada ecuación debemos tener una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Ejemplo:

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

 

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficientes de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas

 

 

 

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación.

 

 

 

3º Hacemos lo mismo con las ecuaciones primera y tercera, para eliminar el término en x

 

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, transformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y

 

5º Obtenemos el sistema equivalente

6º Encontramos las soluciones

 

 

Ahora vamos a calcular ese mismo sistema de ecuaciones, pero expresándolo en forma matricial, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes separados por una recta