POLINOMIOS (II)

Hoy te quiero contar…

Cómo identificar polinomios:

·       Las variables de cada término tienen exponentes elevados a cantidades enteras positivas

·       Las variables no deben estar dentro de radicales

·       No debe haber variables en el denominador de fracciones que aparezcan en algún término

 

Aquí os dejo un ejercicio que nos propuso nuestro profesor, identificar los polinomios

POLINOMIOS

Hoy te quiero contar…

Un poquito sobre los polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios

(monomio: expresión algebraica que consta de un solo término y las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural)

(Expresión algebraica: es una combinación de letras y números ligados por los signos de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división y potenciación)

Un polinomio de grado n, en una variable x, es una expresión algebraica de la forma:

 son números llamados coeficientes.

 

Todos los exponentes deben ser enteros positivos; el mayor de ellos indica el grado del polinomio

A cada uno de los sumandos se le llama término.

El término de grado 2 es

 

 

El término principal es  (El de mayor grado)

 

 

El número  se llama término independiente.

 

 

 

Dos términos son semejantes cuando sólo se diferencian en los coeficientes:

 

 

De forma general, un polinomio se puede expresar de la siguiente manera

 

 

 

ELEMENTOS DE UN POLINOMIO:

·       Términos: son  cada uno de los sumandos que tiene un polinomio.

 

(Término independiente es el llamado

 

 

 

ya que no se escribe acompañado de la variable.

 

 

·       Coeficientes: son los números racionales que multiplican a las potencias de la variable en cada término

·   Grado del polinomio: es el mayor exponente al cual aparece elevada la variable

 

 

 

 

 

ECUACIONES MATEMÁTICAS

Hoy te quiero contar…

ECUACIÓN MATEMÁTICA:

Es una expresión que combina signos aritméticos (sumas, multiplicaciones, radicación, etc) con otros valores numéricos.

Sirve para calcular otro valor que, por ejemplo, nos representará una superficie, un volumen etc.

Ejemplo:

Calcular la superficie de un cuadrado o de un círculo.

Superficie del cuadrado= l²

En estos casos, partiendo de unos datos conocidos, buscamos la fórmula correspondiente en cada caso y así se resolverá.

Pero el problema puede plantearse al revés, es decir, conociendo la superficie hallar las medidas de sus lados.

Ejemplo:

Superficie del rectángulo= 12

Debemos calcular la base y la altura del rectángulo porque hay varias opciones (base 6 y altura 2, base 3 y altura 4 y sus inversas)

12= b.h

Despejando la altura (h) quedaría h= 12/b

En matemáticas las incógnitas se suelen expresar con la letra x, de tal manera que quedaría de la siguiente forma:

X= 12/b

Cuando la situación se complica un poco más, al calcular el área del círculo la expresión matemática sería de la siguiente forma:

S= π. r²

Como la incógnita es “r” la sustituimos por “x” y también sustituimos π por su valor, 3’14; de esta manera la expresión matemática quedará de la siguiente forma

S= 3’14. x²

Observamos que la “x” está elevada al cuadrado. Por tanto la resolución de esta ecuación es más complicada al ser una ecuación de segundo grado.

Despejamos la x para poder resolver

 

 

La situación se puede complicar con la siguiente ecuación

3x  ²  + 5x= 100

    

En esta ecuación hay:

·       Un término de segundo grado ->3x²

·       Otro término de primer grado -> 5x

Este caso se resuelve utilizando una fórmula llamada: resolvente de segundo grado.

La ecuación se puede seguir complicando:

X³ + 5x² - 10= 100

Incluso aún más

2x⁴  + x³ - 6x² +7x -55 = 12

 

Hay un teorema que dice que la incógnita tendrá tantos valores como el grado de la ecuación.

GENIOS MATEMÁTICOS DEL S.XVI

Hoy te quiero contar…

Algo sobre:

DISPUTAS MATEMÁTICAS DEL S.XVI

S.XVI en Italia, en la época renacentista destacaron tres matemáticos:

·       Del Ferro

·       Tartaglia

·       Cardano

 

Realizaron un difícil trabajo intentando buscar un método práctico que permitiese resolver una ecuación matemática conocida como “ecuación de tercer grado”.

En la época de los babilonios, ellos ya conocían la solución de las ecuaciones de segundo grado que utilizaron en sus construcciones.

En la Edad Media, destacaron los matemáticos Fibonacci y Luca Pacioli que trataron “por encima” estos problemas, llegando a resolver solo algunos aunque no demostraron racionalmente las soluciones.

Del Ferro Scipione consiguió resolver las raíces y así dar la solución de estas funciones matemáticas aunque fueron muchos los genios matemáticos que lo intentaron.

 

DEL FERRO SCIPIONE (1465-1526)

Nació y vivió en Bolonia.

Se formó en la universidad de ésta ciudad y fue profesor de aritmética y geometría en esta misma universidad.

Cuando falleció, sus anotaciones más importantes pasaron a su yerno Hannibal Nave. Ahí guardaba la resolución de las ecuaciones de tercer grado.

 NICCOLO FONTANA (TARTAGLIA) (1499-1557)

Nació en Brescia, república de Venecia y murió en esta misma ciudad.

Su verdadero nombre era Fontana pero se le conoce como Tartaglia por su tartamudez, ocasionada (como ya he contado en otra entrada anterior) por una cuchillada.

Desde los 14 años fue autodidacta y a esta edad aprendió a escribir.

Estudió latín, griego y matemáticas; con estas últimas se ganó la vida.

En 1546 publicó el libro “Nuevos problemas e inventos”

CARDANO JERÓNIMO (1501-1576)

Nació en Milán y murió en Roma.

Su padre ya tenía experiencia en matemáticas por lo que influenciado por éste, empezó a introducirse en este mundo.

Estudió la carrera de medicina aunque tristemente después se metió en el mundo del juego. Fue profesor en Milán; intentó el problema de la ecuación de tercer grado pero no lo consiguió. Cardano pidió la solución sobre la ecuación ya nombrada a Tartaglia, pero éste no se la dio. Posteriormente Cardano se comprometió a recomendarle al gobernador de Milán a cambio de la deseada solución, cosa que Tartaglia no aceptó.

En 1539 publicó sus dos primeros libros “La práctica de aritmética” y “Las mediciones simples”

OPINIÓN:

Los genios matemáticos de aquella época trabajaban en solitario, no se daban cuenta de que uniendo sus esfuerzos se avanzaría más rápido y llegarían antes a conseguir la solución.

En la actualidad, a veces, hacemos lo mismo, convirtiéndonos en una sociedad competitiva y no colaborativa. De ahí que los avances sean más lentos debido a intereses personales.

“LA UNIÓN HACE LA FUERZA”

RACIONALIZAR / DIVIDIR

Hoy te quiero contar…

Algo que creía saber pero estaba equivocada

¿DIVIDIR O RACIONALIZAR? ¿RACIONALIZAR O DIVIDIR?

En mi caso, cuando nuestro profesor nos planteó la diferencia entre estos dos términos, creía saberla. Pero al operar, no lo ví tan claro y eso que la diferencia es abismal.

DIVIDIR: Partir en partes iguales

RACIONALIZAR: Se trata de quitar las raíces del denominador

Os voy a poner el ejemplo con el que me quedó claro a mi todo esto.
 

 

 

 

Podemos llegar a la misma solución de esta manera:

 

 

 

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

 

Se pueden dar varios casos:

 

• Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

 

Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción 5/√2 multiplicaremos numerador y denominador por √2
    

 

 

•  Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.

Por ejemplo, 7/√5 - √3  multiplicamos numerador y denominador por √5 + √3

 

 

 

 

 

·         Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n quecomplete una potencia de exponente n.

Por ejemplo: 1/³√25

Factorizamos el radicando del denominador  1/³√25  = 1/³√5²     y como ³√5³ = 5  vamos a multiplicar numerador y denominador por  ³√5 para completar la potencia de 5.

 

 

 

 

TERNAS PITAGÓRICAS

Hoy te quiero contar…

Algo sobre:

Ternas pitagóricas

El Teorema de Pitágoras dice que la suma de las áreas de los cuadrados sobre los lados pequeños de un triángulo rectángulo es igual al área del triángulo sobre el lado largo.

 

                   

 

Llamemos a, b, y c a los lados de un triángulo rectángulo. (Un triángulo rectángulo es uno que tiene un ángulo de 90 grados.) El lado más largo se llama 'hipotenusa' y los otros se llaman 'catetos'.

El teorema de Pitágoras se escribe en forma de ecuación:

 

 

donde c es la hipotenusa y a, b son los catetos.

Si a, b y c son enteros positivos, juntos se les llama una terna pitagórica.

La terna pitagórica más pequeña es 3, 4 y 5. Es fácil ver que 3² + 4² = 5² (9+16=25).

 

 

 

Las  ternas  pitagóricas  no tienen fin.

Es fácil demostrarlo usando la primera terna pitagórica (3, 4 y 5):

Sea n un entero mayor que 1: 3n, 4n y 5n también son una terna pitagórica. Esto es verdad porque:

(3n)² + (4n)² = (5n)²

 

 

n	(3n, 4n, 5n)
2	(6,8,10)
3	(9,12,15)
...	... etc ...

 

 

 

Así que puedes crear infinitas ternas pitagóricas a partir de la terna (3,4,5).

 

 

 

 

REFLEXIÓN

Hoy te quiero contar…

Días atrás nuestro profesor de matemáticas nos envió un artículo sobre el cual debíamos reflexionar y después comentarlo.

Trataba de la experiencia de algunos estudiantes americanos que sentían que sus clases de matemáticas se quedaban cortas con sus ganas de aprender cosas nuevas. Fue por ese motivo por lo que además de su rutina escolar decidieron participar en conferencias, realizar distintos experimentos, trabajar en grupo etc.

Pienso que lo que pretende que veamos con esto nuestro profesor es ayudarnos a pensar que no todo se aprende en los libros, también se puede innovar, como por ejemplo en nuestro caso creando este blog.

GRÁFICO DE LOS NÚMEROS REALES

Hoy te quiero contar…

Cómo, entre todos, hemos conseguido llegar en clase hasta este esquema de los números reales o decimales.

 

 

Por encima de los radicales están los números algebraicos. Nuestro profesor nos ha propuesto definirles:

Un número algebraico es cualquier número real o complejo que sea solución de un polinomio, distinto de cero, con coeficientes racionales.

Ejemplo:
2x²+ 3x + 2 -> en este caso, x es algebraico ya que  el polinomio es distinto de cero, x es una raíz o 0, es decir x nos da el resultado 0 en la función. Los coeficientes son números racionales.

Si un número real o complejo no es algebraico, se denomina transcendente. Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales

Ejemplo:

π y e

ECUACIONES DIOFÁNTICAS

Hoy te quiero contar…

Lo que entiendo yo como ECUACIÓN  DIOFÁNTICA:

Se utiliza para expresar una ecuación con una o más incógnitas que va a ser resuelta en el conjunto de los números enteros.

Ejemplo: La ecuación diofántica 3x + 6y = 18  tiene infinitas soluciones enteras. Algunas de estas soluciones son:

X= -6       y= 6

X= 10      y= -2

X=4          y= 1

GENERALIZACIÓN

Hoy te quiero contar…

La generalización en matemáticas:

Es un procedimiento en el cual se puede globalizar, extender lo aplicado a casos particulares. Lo que funciona para unos individuos o cosas, funcionará para un gran grupo.

 

 

Es la fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio

 

Podemos observar que:

El número de términos es n+1.

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia. (Matemático ya nombrado)

 

 

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.

En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos